PRAWDOPODOBIEŃSTWO
kącik autorstwa Szymona Brodowicza
3.03.2004
ZROZUMIEĆ (I POLUBIĆ) TABELKĘ
Uproszczona tabela prawdopodobieństw
Tabela prawdopodobieństw
(Dla minimalistów wartości podane
tłustym drukiem)
podana z dokładnością do 0.1
Liczba
brakuj.
kart
Podział
Prawdopodobieństwo podziału w %
2
1-1
52
2-0
48
3
2-1
78
3-0
22
4
2-2
40
3-1
50
5
3-2
68
4-1
28
6
3-3
36
4-2
48
7
4-3
62
Liczba
brakuj.
kart
Podział
Prawdopodobieństwo podziału w %
2
1-1
52
2-0
48
3
2-1
78
3-0
22
4
2-2
40.7
3-1
49.7
4-0
9.6
5
3-2
68.8
4-1
28.3
5-0
3.9
6
3-3
35.5
4-2
48.5
5-1
14.5
6-0
1,5
7
4-3
62.2
5-2
30.5
6-1
6.8
7-0
0,5
8
4-4
32.7
5-3
47.1
6-2
17.1
7-1
2.9
8-0
0,2
Przy brydżowym stoliku przyda nam się każdy kwant koncentracji, zużywanie jej na żmudne obliczenia prawdopodobieństw to czyste marnotrawstwo. Właściwym postępowaniem jest oszacowanie szans “mniejsza – większa“, wsparte czasami banalnymi rachunkami, takimi jak podzielenie przez 2, lub dodanie n.p. 25 do 50. Takie szacowanie szans to nic innego niż słynne “wyczucie“. Można go nabrać grając tysiące rozdań lub poświęcając trochę czasu problemom z dziedziny prawdopodobieństwa w brydżu. Ten ostatni sposób wydaje mi się dużo szybszy..
Postaramy się także, aby nie był nudny. W miarę możliwości będziemy analizować autentyczne rozdania. Wszystkie wartości z tabelki będą podawane jako liczby całkowite (zaokrąglone).
Na początek – minimalny łyk wiedzy.
Załóżmy, że jesteśmy rozgrywającym, a u przeciwników odłożyły się 4 kiery (n.p. KD32).
Wszystkie możliwe rozkłady to:
KD – 32 K – D32 renons – KD32 K3 – D2 D – K32 KD32 - renons K2 – D3 3 – KD2 D2 – K3 2 – KD3 D3 – K2 D32 – K 32 – KD K32 - D KD3 – 2 KD2 – 3
Jeżeli zadamy pytanie o najbardziej prawdopodobną liczbę kierów w ręce lewego obrońcy (LHO), to odpowiedź może być tylko jedna – dwa kiery! Prawdopodobieństwo zastania 1 kiera jest mniejsze (dokładnie takie samo jak zastania 3 kierów), a najmniejsze jest p. zastania 4 kierów (takie jak renonsu). Proszę zwrócić uwagę, że w powyższym zdaniu starannie uniknąłem słowa “lub“, wrócimy jeszcze kiedyś do tego..
Dzieje się tak dlatego, że karta “chce“ podzielić się jak najbardziej równo.
Najbardziej prawdopodobny podział to 2-2 ! (40%)
Tak zwany podział 3-1 to w istocie suma podziałów (1-3) oraz (3-1), po 25% każdy. Proponuję używanie takiej symboliki; (3-1) oznacza, że trzy karty odłożyły się u LHO. Podział 4-0 to rozkłady (4-0) oraz (0-4), a pisanie (2-2) nie ma sensu, bo to dokładnie to samo, co 2-2.
Podział 3-1 (50%) “wygrywa“ z podziałem 2-2 (40%) tylko dlatego, że jest sumą dwóch podziałów (po 25%).
A jak to jest przy innych ilościach brakujących kart?
Sytuacja wygląda podobnie, jeśli brakuje nam 4,6,8 czy 10 kart (liczby parzystej).
Przy brakujących 6-ciu kartach wgrywa podział 4-2, później idą 3-3, 5-1, 6-0. Tu także karta “chce” podzielić się równo, podział 3-3 (36%) jest bardziej prawdopodobny niż na przykład podział (4-2). Jednak najbardziej prawdopodobny jest podział 4-2 (48%) jako suma podziałów (4-2) oraz (2-4), po 24% każdy. (Na pytanie sprawdzające; ile kart ma najprawdopodobniej LHO , odpowiadamy oczywiście, że trzy.)
Uszeregowanie podziałów według ich prawdopodobieństwa (od najwyższego) przy brakujących 8 czy 10 kartach jest już automatyczne;
5-3,4-4,6-2,7-1,8-0
6-4.5-5,7-3,8-2,9-1,10-0
i udało się to zrobić bez liczenia!
A co będzie w przypadku brakujących 3,5,7,9,11 kart (liczby nieparzyste)?
Tutaj podział najbardziej zbliżony do równego jest szczególnie uprzywilejowany, bo odpada główny “konkurent“ – równa ilość kart u obydwóch przeciwników. Stąd “lider“ danego podziału obejmuje bardzo wyraźnie prowadzenie.
Odpowiednie uszeregowanie wygląda następująco:
2-1 (78%),3-0 (22%)
3-2 (68%),4-1(28%),5-0
4-3,5-2,6-1,7-0
5-4,6-3,7-2 itd.
znowu zupełnie automatycznie. Procenty podaję jedynie w celu uwidocznienia dużego odstępu między 1 a 2 miejscem w szeregu.
Czas na kolejne pytanie sprawdzające; brakuje nam 5 kart, jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba kart u RHO? (Odpowiedź na końcu artykułu.)
Zostawmy już tabelkę, będziemy z niej korzystać, ale nie będziemy się nią więcej zajmować. Należy tylko dodać, że znajdujące się w niej liczby to wynik obliczeń “a priori“ tzn. nie mając żadnych informacji o rozkładzie któregoś z kolorów. Wiemy tylko, że 26 kart podzieli się po 13 (u LHO/RHO). Tabelka wystarcza praktycznie do wykonania prawie wszystkich potrzebnych obliczeń, w pozostałych przypadkach oszacowujemy zmianę zawartych w niej wartości (przy stole), lub obliczamy je jeszcze raz (w domu, jeżeli mamy na to czas i ochotę).
PRZECIWNIK MA TYLKO DWA KIERY..
Załóżmy teraz, ze brakuje nam tylko dwóch kierów, króla i damy.
Dama może być po lewej lub prawej stronie, z królem jest tak samo, daje to w sumie 4 rozkłady;
K – D KD – renons D – K renons – KD
Prawdopodobieństwo zastania damy u n.p. LHO wynosi 50% (prawda). Spróbujmy przeprowadzić teraz następujące rozumowanie.
Prawdopodobieństwo zastania KD u LHO to też 50%, no bo KD może być po prawej lub lewej stronie. Jeśli tak, to każdy z czterech wymienionych wyżej rozkładów jest tak samo prawdopodobny (po 25%).Wynika z tego, że prawdopodobieństwo podziału 1-1 jest takie samo jak podziału 2-0 i wynosi 50%.
Nie jest to prawdą (byłoby gdyby ilość kart u przeciwników była nieskończenie wielka) z tego powodu, że LHO dzierży tylko 13 kart. Skoro już ma mieć p.n. damę, to w jego ręce pozostaje 12 wolnych miejsc, podczas gdy u RHO pozostaje jeszcze 13 wolnych...
Tak naprawdę prawdopodobieństwo podziału 1-1 wynosi 52%, a podziału 2-0 pozostałe 48%. Tym, którzy zauważyli już, że 48% = 12/25, gratuluję i jednocześnie ostrzegam, że podobne rachunki podlegają pewnym ograniczeniom (które będą podane później), inaczej łatwo zejść na manowce.
Czy prawdopodobieństwo zastania damy u LHO to rzeczywiście 50%, skoro prawdopodobieństwa podziałów 1-1 oraz 2-0 nie są równe?
Tak, ale w 26% (52% podzielone przez 2) dama będzie samotna, a w 24% (48% podzielone przez 2) wystąpi w towarzystwie króla.
Czy warto tak przynudzać z powodu tych 4% różnicy? Gdyby chodziło tylko o wyżej wymienione rozkłady to może i nie warto. Ale uświadomienie sobie faktu, że karty, które już są u konkretnego przeciwnika “zabierają“ miejsce innym kartom – bardzo się jeszcze przyda.
Szymon Brodowicz
ODPOWIEDŹ.
Zastanie 2 kart u RHO jest tak samo prawdopodobne jak zastanie 3 kart (po 34%).